Блог Smart University

Парадокс дней рождения

Как вы думаете, сколько людей, выбранных случайным образом, нужно собрать вместе, чтобы как минимум у двух из них совпали дни рождения?

Парадокс дней рождения

Как вы думаете, сколько людей, выбранных случайным образом, нужно собрать вместе, чтобы как минимум у двух из них совпали дни рождения?

Сформулируем эту задачу математическим языком. Пусть p(n) — это вероятность того, что в случайной выборке из n человек, по крайней мере у двоих из них, будет общий день рождения.

Поскольку в году всего 366 уникальных дат, включая 29 февраля, следовательно, при n ≥ 367, p(n) = 100%

Проще говоря, даже если у 366 человек дни рождения будут разными, день рождения 367-го точно совпадет с одним из предыдущих 366 человек.

С вероятностью 100% все относительно просто. Но что насчет 50%-ной вероятности? Сколько людей потребуется, чтобы как минимум у двух из них совпали дни рождения в 50% случаев?

Первый интуитивный порыв большинства людей — разделить 367 пополам.

Логика следующая. Если для достижения 100%-ной вероятности требуется 367 человек, следовательно, для 50%-ной вероятности нужно в два раза меньше. Таким образом, получается, что нам потребуется собрать выборку примерно из 180 человек.

Правильный ответ многих вводит в замешательство. На самом деле достаточно всего лишь 23 человека, чтобы с вероятностью 50% хотя бы двое из них родились в один день.

Если же собрать вместе 70 человек, то вероятность совпадения дней рождения у двух из них достигнет 99%. 

Формально проблема дней рождения не относится к настоящим математическим парадоксам. Парадоксальность этой задачи вытекает из нашего интуитивного восприятия вероятности, которое противоречит математическим расчетам.

Мы совершаем ошибку, так как думаем, что вероятность родиться в определенный день довольно мала: 1 : 366 = 0,0027. Соответственно, вероятность, что в один и тот же день родятся двое, еще меньше.

Но мы упускаем из виду, что речь идет не о конкретном человеке и не о конкретной дате рождения. Достаточно, чтобы даты рождения совпали у любых двух человек. Какой именно день это будет, не имеет значения.

Сравнивая попарно даты рождения 23 человек, мы получим большое число возможных комбинаций. Первого человека мы будем сравнивать с 22 людьми, второго — с 21 человеком, так как с первым его уже сравнили в предыдущем случае, третьего — с 20 людьми, четвертого — с 19 и так далее. В результате мы получим 253 различные комбинации.

Сначала рассчитаем вероятность того, что в группе из 23 человек не будет ни одного совпадения. Для простоты вычислений отбросим високосные годы, а также тот факт, что некоторые даты рождения более распространены, чем другие.

В таком случае вероятность того, что у любых двух человек не совпадают дни рождения, равна 364/365 = 0,9973 = 99,726027% (только 1 из 365 дней — совпадающий день рождения, остальные 364 дня не подходят). Как мы отметили выше, в группе из 23 человек существует 253 возможные комбинации.

Соответственно, нам нужно возвести вероятность несовпадения дней рождений (99,726027%) в 253-ю степень (количество возможных комбинаций), чтобы получить вероятность того, что все дни рождения в группе из 23 человек окажутся разными.

Таким образом, получаем вероятность, равную 49,952%. Следовательно, вероятность того, что совпадения в группе из 23 человек все-таки будут, составляет 1 – 49,952% = 50,048%, то есть чуть больше половины. 


Комментарии (0)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *